DES RESSOURCES MATHÉMATIQUES
Les 31 janvier et 01 février 2018 a eu lieu à Barcelone le stage
Géométrie au cycle 3
Vous trouverez ci-dessous les divers documents présentés durant ces deux jours.
Les documents soulignés sont téléchargeables en cliquant dessus.
Quelques généralités
Document 1 : Tableau comparatif 3 cycles en géométrie
Document 2 : Exercice consistant à replacer des capacités et quelques objets géométriques dans le bon cycle (2, 3 ou 4), voire dans la bonne année si les programmes précisent un repère de progressivité. Il peut être utilisé en équipe pour revoir les attributions de chaque année et affiner une progression de cycle.
Document 3 : Réponses
Document 4 : Diaporama sur quelques généralités
0 - Questionnements : Une série de 6 questions dans laquelle il fallait en choisir deux et y répondre.
Voir les réponses des stagiaires.
1 - Vocabulaire : Un point sur le vocabulaire à utiliser entre professionnels et/ou avec les élèves (la différence entre figure et dessin, dessin dynamique, polygone, polyèdre, la différence entre espace sensible et espace géométrique, la différence entre connaissances spatiales et connaissances géométriques, modélisation, instrument). On en profite pour faire une synthèse sur les propriétés des rectangles, losanges et carrés.
2 - Les grands principes : Petit tour des programmes pour mettre en évidence le rôle essentiel de l'enseignement de la géométrie en cycle 3, qui est de faire passer progressivement d'une géométrie perceptive à une géométrie instrumentée pour aller ensuite vers une géométrie raisonnée (argumentée puis déductive). On montre l'importance des contraintes liées aux instruments et aux supports.
3 - Les familles d'activités : À partir d'une liste des grandes compétences géométriques, un travail d'équipe consiste à décliner chaque compétence en plusieurs types de tâches (différentes dans la mesure où elles font intervenir des images mentales, des stratégies, des connaissances différentes), puis à trouver quelques variables didactiques qui, sans modifier le type de tâche, la rendent plus ou moins difficile.
3.1. Reconnaître, nommer une figure simple ou une relation à partir d'une représentation
3.2. Compléter une figure
3.3. Construire entièrement une figure
3.4. Reproduire une figure à la même échelle
3.5. Agrandir ou réduire une figure
3.6. Décrire une figure
3.7. Trouver le ou les axes de symétrie d'une figure
3.8. Tracer le symétrique une figure par rapport à un axe
3.9. Représenter un solide
3.10. (Se) repérer et (se) déplacer
Annexes :
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Documents 5 : Feuilles quadrillées ou pointée
Quadrillée en triangles équilatéraux
Pointée en triangles
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Document 6 : Planche de quelques solides
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Document 7 : Rotules à photocopier pour fabriquer des solides en pailles
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Documents 8 : Les 5 polyèdres réguliers (ou solides de Platon) dessinés par Léonard de Vinci
Hexaèdre (cube)
Lien vers la page de Thérèse Éveilleau consacrée aux solides de Platon qui propose des animations 3D
Initiation à GeoGebra
Document 9 : Le principe essentiel des logiciels de géométrie dynamique : la résistance aux déplacements.
Et quelques compétences à maîtriser pour que l'enseignant puisse utiliser GeoGebra avec des élèves.
Il sera essentiel de montrer aux élèves qu'en plaçant quatre points en forme de rectangle sur le quadrillage, les points sont libres et la figure ne résiste pas au déplacement de l'un des points. Alors que si on construit les points avec l'outil " Perpendiculaire ", la figure résiste au déplacement d'un des points.
Lien vers la page de téléchargement du logiciel GeoGebra
Plusieurs versions sont proposées. Choisir GeoGebra Classique 5 .
Lien vers la page de GeoGebra en ligne
Documents 10 : Les trois documents suivants ont été utilisés pour initier des classes de CM1 et CM2. Ils se sont avérés trop chargés en textes et ont manqué de dynamisme, mais ils ont pu servir de feuilles de référence pour débloquer les élèves dans certains situations.
Documents 11 : Trois tutoriels élèves guidant les élèves pas à pas pour construire de belles figures. Plus adaptées à la découverte du logiciel, ces fiches permettent de découvrir l'essentiel des outils et des fonctionnalités en fréquentant des figures classiques de géométrie avec des objectifs motivants. Elles nécessitent néanmoins un bon niveau d'attention de la part des élèves pour suivre le programme de construction riche en vocabulaire.
Autres fiches anciennes : Pentagrammes - Étoile des neiges - Étoiles décroissantes - Rosace à 20 cercles - Vagues -
Mosaïque de Pompei - Cardioïde - Croix basque - Étoile à 15 branches - Rose des vents - Étoile marocaine
Documents 12 : Deux fiches de six figures chacune. Les élèves doivent retrouver le programme de construction qui permet de reconstituer la figure.
Recherche de programmes de construction Niveau 1
Recherche de programmes de construction Niveau 2
Les documents présentés ci-dessus contribuent à la manipulation de figures et relations récurrentes (polygones, polygones réguliers, milieux, perpendicularité, ...) avec des objectifs plaisants de faire de belles figures colorées.
Cela peut être prolongé par des activités libres, voire des concours, durant lesquels les élèves peuvent créer les figures qu'ils veulent, éventuellement en lien avec les arts plastiques.
Dans un cadre moins ludique, il conviendra néanmoins de faire travailler dès le CM1 les compétences de constructions des quadrilatères de base (rectangle, losange, carré) en lien avec les constructions instrumentées.
Le bridage de la barre d'outils est en cela très utile.
Par exemple, on visera l'objectif de savoir construire un carré :
sans le bouton puis sans le bouton
" Polygone régulier " " Perpendiculaire "
en fin de CM1 en fin de CM2
Le cercle, et sa version instrumentée le compas, prendront progressivement une place importante dans les constructions de figures simples et complexes. Si le compas permet de ne tracer que des arcs de cercle, GeoGebra trace les cercles complets, ajoutant ainsi un certain manque de lisibilité à prendre en compte.
Documents 13 : La possibilité d'afficher le " Protocole de construction " permet de prolonger le travail fait sur les programmes de construction.
Associer figure et programme de construction
Exemple d'utilisation simple, qui peut être prolongé sous diverses formes déjà pratiquées en version papier/instruments et adaptées sous GeoGebra :
- un groupe fabrique un jeu de vignettes découpées de figures et de programmes qu'un autre groupe doit associer,
- sur le principe des " figures téléphonées " , un élève envoie un programme à un autre élève qui doit obtenir la même figure. GeoGebra permet une comparaison des figures plus riche : pour valider la figure, on vérifie la résistance aux déplacements et on change ainsi la position globale et l'échelle visuelle.
On propose des représentations qui peuvent laisser croire à la présence d'une figure particulière. Il s'agit d'étudier le programme de construction pour vérifier si les propriétés caractéristiques ont été respectées ou non.
Étude de quelques difficultés en géométrie
Document 14 : Diaporama présentant quelques difficultés majeures rencontrées par les élèves de cycle 3 en géométrie
1 - Manipulation des instruments : Un point sur les différents aspects de la manipulations des divers instruments et leurs fonctions multiples, difficulté souvent citée dans le tour de table, :
- contrôles visuels, changements de pression et glissements qui nécessitent une bonne coordination gestuelle ;
- alternative du tracé de cercle en bloquant l'instrument et en tournant la feuille ;
- toutes les variantes de la méthode pour tracer une perpendiculaire, une parallèle ;
- notion d'instrument artisanal, dédié à une tâche (exemple du T sur papier calque pour vérifier des angles droits) ;
- procédures économiques des élèves qui détournent un outil ;
- problèmes des graduations de l'équerre et du rapporteur
vendus dans le commerce, qu'il est possible de neutraliser
en les effaçant ;
- instruments multifonctions (Document 15 : règle du Kangourou
à imprimer sur calque et à plastifier).
2 - Légitimité de la précision : On demande aux élèves soin et précision dans leurs travaux de tracés géométriques.
Il serait souhaitable de légitimer cette exigence en proposant des situations où elle fait nécessité :
- utilisation de calques modèles qui montrent les imperfections,
- mesure supplémentaire de confirmation (un angle, par exemple),
- figures successives juxtaposées (spirale de Pythagore) pour lesquelles les imprécisions s'ajoutent,
- situations d'emboitements avec coïncidence : construction de solides dépendant de la précision du patron, puzzles, etc.
Noter que plus la figure tracée est petite, plus les procédures économiques des élèves sont performantes...
A contrario, il convient de montrer des situations où la précision n'a pas de sens et où, pourtant, on fait bien de la géométrie :
- tracés à main levée où on travaille l'anticipation et la mobilisation des propriétés sans qu'interfèrent les exigences de manipulation des instruments, du soin et de la précision des tracés ;
- figures géométriques des macro-espaces (quartiers, villes, pays, ...) où un champ carré ne sera pas exactement carré et où une route de 1 km ne mesure pas exactement 1 km.
Ces contextes différents doivent être clairement définis et annoncés.
3 - Prototypes et images mentales, exemple de la perpendicularité : Les connaissances et les
compétences géométriques se forgent dès la petite enfance et sont la synthèse de multiples
facteurs (découverte de son environnement, milieu familial, milieu scolaire, activités physiques
et sportives, ...). Il est inévitable que les notions se construisent sur des images mentales
incomplètes, un peu fausses, voire bloquantes.
Ainsi la perpendicularité nait elle sous le prototype " verticale-horizontale " qui est à la fois
indiscutable et réducteur :
- exemples d'erreurs classiques dues à ce prototype,
- prégnance de la verticalité chez l'homme (Document 16 : exemple de la paréidolie),
- exemple de situation favorisant la mobilité du regard (Document 17 : la rue penchée),
- appropriation de l'image prototypique pour en faire un instrument artisanal.
4 - Rectangles prototypes : Position prototypique et forme prototypique.
Exemples de situations favorisant la mobilité du regard.
Point sur l'évolution du codage des angles droits, exercice piège de la droite à prolonger pour expliciter un angle droit.
Difficulté à comprendre ce qu'est une droite (Document 18 : diaporama exemple pour susciter une image mentale de la notion de droite).
5 - De la géométrie des surfaces à la géométrie des lignes : L'élève de primaire a manipulé ses premières figures comme étant des surfaces (polygones en plastique, figures en papier à découper, à colorier). L'élève du secondaire traitera essentiellement une géométrie de lignes, voire de points. Le cycle 3 a charge de la transition.
Exemples d'activités sur les points et les lignes qui provoque l'anticipation, exercices de restauration.
6 - Conceptions du cercles : Présentation de quelques activités travaillant diverses manières de conceptualiser le cercle ou le disque :
- image de la ficelle tendue attachée à un point,
- image de l'ensemble des points situés à une même distance d'un point,
- image du rayonnement.
Le document termine sur quelques constructions au compas : le carré et sa transposition en grand format dans la cour de récréation (inutilité des instruments usuels compas et équerre, recours à la ficelle, problème de la validation des angles droits, utilisation de la corde à 12 nœuds ), l'hexagone et le pentagone réguliers.
Géoportail
Document 19 : Comment observer, analyser, mesurer, rechercher des bâtiments 3D en formes des solides usuels avec Google Maps et Google Earth.
Quelques adresses de bâtiments pyramides, cubes, cylindres et prismes.
Il est intéressant de faire travailler les élèves sur une vue d'avion de leur établissement.
On peut signaler que GeoGebra permet l'importation d'image : on peut donc mesurer, modéliser un plan
d'établissement en figures géométriques à partir d'une capture d'écran de Google Maps.
Ateliers de constructions de solides
Le stage s'est terminé par la construction de deux solides à partir de quatre matériaux différents :
- un cube de polystyrène à creuser,
- des feuilles cartonnées pour construire un patron,
- des baguettes pour figurer les arêtes,
- des blocs de pâte à modeler.
Les deux solides ont été choisis pour montrer qu'un matériau peut être adapté ou non à certains solides.
Ainsi, la pyramide est facile à faire avec les baguettes ou la pâte à modeler, son patron demande des
reports de longueurs, et elle est difficile à découper dans le cube de polystyrène.
À l'inverse, le solide bleu est facile à découper dans le polystyrène, mais les baguettes et son patron
posent problème...
